حل تحلیلی دوبعدی میدان دما تنش و جابجایی برای یک استوانه توخالی با شار حرارتی نامتقارن و زمانمند

Transcript

1 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 9 شماره سال 96 صفحات 5 تا 60 DOI: 0.060/mej حل تحلیلی دوبعدی میدان دما تنش و جابجایی برای یک استوانه توخالی با شار حرارتی نامتقارن و زمانمند عادل بیدزرد * مجتبی محزون محمود یعقوبی دانشکده مهندسی مکانیک دانشگاه شیراز شیراز ایران چکیده: در این مقاله حل تحلیلی دوبعدی برای میدان دما تنش و جابجاییها در استوانهای توخالی ارائه شده است. در سطح بیرونی این استوانه توخالی شار حرارتی نامتقارن و وابسته به زمان اعمال شده است. همچنین این استوانه حامل سیال است و در سطح داخلی به صورت جابجایی تبادل حرارت میکند. از روش جداسازی متغیرها برای به دست آوردن میدان دما استفاده شده است. همچنین توزیع تنشها به وسیله تابع تنش حرارتی به دست میآید. سپس به کمک روابط تنش-کرنش و کرنش- جابجایی مولفههای جابجایی به دست آمدهاند. این استوانه به عنوان مدلی از لوله گیرنده کلکتور سهموی خطی در نظر گرفته شده است. با استفاده از حل تحلیلی نتایج برای مدل واقعی موجود در نیروگاه خورشیدی شیراز در یک دوره دوازده ساعته که از شش صبح تا شش بعد از ظهر طول میکشید به دست آمد. حل تحلیلی با استفاده از نرمافزار متلب برای نتایج عددی به کار گرفته شده است. همچنین نتایج برای اعتبارسنجی با روش المان محدود نرمافزار انسیس مقایسه شده است. در انتها این نتیجه دریافت شد که اختالف به وجود آمده بین نتایج حل تحلیلی و خروجی نرمافزار انسیس به علت عدم توانایی نرمافزار متلب در توانایی محاسبه دقیق توابع کلوین است. تاریخچه داوری: دریافت: تیر 9 بازنگری: 8 دی 9 پذیرش: 9 مرداد 95 ارائه آنالین: 9 آبان 95 کلمات کليدي: حل تحلیلی استوانه توخالی نامتقارن زمانمند - مقدمه به دست آوردن توزیع دما تنش و جابجایی در جداره یک استوانه توخالی به علت کاربرد های آن در صنعت همیشه مورد عالقه پژوهشگران بوده است. در بسیاری از موارد این توزیع دما در استوانههای توخالی به صورت نامتقارن و وابسته به زمان میباشند برای مثال در یک کلکتور سهموی خطی یک سمت لوله گیرنده که به طرف آینه های کلکتور است نسبت به سمت دیگر بیشتر گرم میشود و این شرایط با گذشت زمان و حرکت خورشید در یک شبانه روز تغییر میکند. در ابتدا مروری بر پژوهشهای پیشین خواهیم کرد. در این پژوهشها به کمک روشهای تحلیلی به حل معادالت حاکم بر استوانه توخالی برای به دست آوردن میدان دما و تنش پرداخته اند. غصن و صباغیان ][ یک استوانه توخالی با شرایط مرزی متقارن را به صورت یک بعدی بررسی کردند و به کمک فضای میدان الپالس به حل معادالت پرداختند. گوشیما و میائو ][ یک استوانه توخالی خیلی بلند را در نظر گرفتند به طوریکه دارای یک مولد گرمایی درونی بوده و به وسیله سطوح داخلی و بیرونی خنک میشد. آنها برای تحلیل مسئله از تبدیل الپالس و گرین فانکشن استفاده کردند. نودا و کیم ][ به کمک تابع گرین و تئوری المینار میدان دما وتنش حرارتی در یک استوانه توخالی بلند را به صورت دوبعدی و در حالت گذرا به دست آوردند. آنها معادله گرمای گذرا را به یک مسئله مقدار ویژه تبدیل کرده و با بسط تابع ویژه و تئوری نویسنده عهدهدار مکاتبات: adel.bidzad@yahoo.com المینار به جواب رسیدند. برای توزیع تنش و جابجایی از تابع میشل و تابع پتانسیل جابجایی استفاده کردند. یی و مون ][ یک حل تحلیلی برای مسئله دوبعدی گذرای استوانه توخالی ارتوتروپیک ارائه کردند به طوریکه توزیع دمای اولیه دلخواه برای جسم مشخص و شرایط مرزی همگن بود. برای توزیع تنش از روش تابع تنشی استفاده کردند. همچنین توزیع دما را به کمک بسط تابع ویژه بسل-فوریه یافتند. شاهانی و نبوی ]5[ به کمک تبدیل هنکل یک مسئله ترمواالستیسیته شبه استاتیکی را برای یک استوانه توخالی جدار ضخیم حل کردند و توزیع دما و جابجایی را به دست آوردند. در این مقاله ابتدا حل تحلیلی دوبعدی یک استوانه توخالی برای به دست آوردن میدان دما به کمک روش جداسازی متغیرها ارائه شده است. شار حرارتی روی سطح بیرونی نامتقارن و وابسته به زمان میباشد و درون این استوانه توخالی سیالی با ضریب جابجایی مشخص وجود دارد. سپس به کمک روش تابع حرارتی تنشها محاسبه میشود. در انتها به کمک روابط تنش-کرنش و کرنش- جابجایی مولفههای جابجایی یافته میشود. در این مسئله فرض شده است جسم به صورت همگن باشد خواص فیزیکی تابعیتی از زمان و دما نباشد و ضریب جابجایی سیال ثابت در نظر گرفته شده است. برای اعتبارسنجی نتایج استخراجی نرمافزار انسیس با نتایج روش حل تحلیلی که در نرمافزار متلب کد نویسی شده است مقایسه گشته است. - مدلسازی ریاضی یک استوانه توخالی بلند در نظر گزفته میشود که شعاع داخلی و شعاع 5

2 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 9 شماره سال 96 صفحه 5 تا 60 R R = = 0 R R i R R i R R = C [ be ibei ] D[ Ke ikei ] o باشد. همچنین فرض میشود که این استوانه =b و i خارجی به ترتیب a= از یک ماده همگن و آیزوتروپیک ساخته شده باشد. معادله گرما در حالت دوبعدی به صورت زیر است: τ τ τ τ =,,0, 0 t θ a b θ π t ) به طوریکه فاصله شعاعی پخش گرمایی و τ توزیع دما است که به صورت زیر تعریف میشوند: λ = ρc τ = T T 0 T 0 به طوریکه λ رسانایی گرمایی ρ چگالی c ظرفیت گرمای ویژه و دمای اولیه جسم است. توزیع دمای τ,θ,t باید شرایط مرزی زیر را ارضا کند: τ a, θ, t) λ = hτ a, θ, t) 0 θ π, t 0) b, θ, t) τ λ = f θ t θ π t ) cos ) 0, 0) که در آن فرکانس و محدوده آن در نظر گرفته میشود. - حل تحلیلی توزیع دما برای به دست آوردن توزیع دما از روش جداسازی متغیرها استفاده شده و τ,θ,t به صورت زیر فرض میشود: τ, θ, t = R φθ M t با جاگذاری رابطه )6 درون رابطه ) رابطه زیر حاصل میشود: R R φ M = = µ R R φ M = = M M µ µ t M ce در ادامه خواهیم داشت: μ چه مثبت چه منفی یا صفر باشد M نوسانی نخواهد بود. درنتیجه از الگوی زیر استفاده میشود: it M M = cost i sit = e = i M R R φ i = = µ R R φ با جاگذاری رابطه )9 درون رابطه )7 داریم: در ادامه با داشتن شرایط مرزی متناوب داریم: φ µφ = 0 µ = φ = A cos θ B si θ φ0 = φ π با جاگذاری رابطه ) درون رابطه )0 داریم: از حل معادله ) داریم: که در آن توابع کلوین به صورت زیر تعریف میشود: cos i π be i = i = 0! Γ i si i π bei i = i = 0! Γ i e = i! i cos i π i = 0 i! l be πbei i i { ψ ψ } i cos i π i = 0 i! i! Kei = i! i si i π i = 0 i! l bei πbe { ψi ψ i } i si i i = 0 π i!! ψ z = ψ z z ψ γ = = γ = cost γ = lim[... l x ] = x x τ, θ, t = [ C be ibei = 0 که در آن ψ تابع دی گاما است: با استفاده از رابطه )6 داریم: it D Ke ikei A cosθ B si θ e ] 5

3 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 9 شماره سال 96 صفحه 5 تا 60,, t e it F cos G si τ θ = θ θ = = 0 F = A B x B K x G = CB x DK x B x = be x ibei x K x = e x iei x x = C = FD با اعمال شرط مرزی ) داریم: [ γ Ke a ikei a h Ke a ikei a] F = γ be a ibei a h be a ibei a] τ, θ, t = [ F[ be ibei ] = 0 it [ Ke ikei ] A cosθ B si θ e ] A, B = π f s cos s,si s ds z iy π πλ z y z = [ Gbe b Ke b Hbei b ] y = [ Gbei b Kei b Hbe b ] p qs G = s q ps H = s p = γ Ke a hke a q = γ Kei a hkei a = γbe a hbe a s = γbei a hbei a π 0 = 0 که: در نتیجه با اعمال شرط مرزی )5 داریم: که: با به دست آوردن قسمت حقیقی توزیع دما داریم: z cost y si t M z sit y cos t N τ, θ, t = πγ z y f s cos θ s ds M = G be Ke H bei N = H be G bei ei که: - حل تحلیلی توزیع تنش اگر توزیع دما به صورت فشرده زیر نوشته شود: که بعد از یافتن توزیع دما برای به دست آوردن تنشهای حرارتی از روش تابع تنش حرارتی استفاده میشود. اگر تابع تنش حرارتی با نماد χ نشان داده شود این تابع با تنشهای حرارتی به صورت معادالت زیر در ارتباط است: χ χ σ = θ χ σ θ = χ σ θ = θ برای اینکه تابع معادالت سازگاری را نیز ارضا کند باید در رابطه زیر صدق کند: Eα χ τ = 0 که در آن E مدول االستیسیته α ضریب انبساط گرمایی و v ضریب پواسون میباشد. اگر χ به صورت زیر فرض شود: χ, θ, t = f cos θ g si θ e = 0 = با جاگذاری معادله ) و )8 درون رابطه ) داریم: f f f f f i αe = F ν it با در نظر گرفتن عبارت siθ عبارت مشابهی به دست میآید که فقط به جای f و F باید g و G گذاشته شود. به ازای = جواب کلی معادله ) یافته میشود: i αe f f f f f = F ν جواب همگن معادله ) را میتوان به صورت زیر نوشت: f C C C C = l برای به دست آوردن جواب خصوصی معادله ) به صورت زیر نوشته میشود: 55

4 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 9 شماره سال 96 صفحه 5 تا 60 Eα χ τ = 0 با جاگذاری معادله ) و )8 درون رابطه )6 داریم: αe f f f = f ν به ازای = جواب معادله دیفرانسیل به صورت زیر به دست میآید: αe f = s F sds F s ds ν i i در نتیجه برای = جواب کلی f به صورت مجموع جواب خصوصی و همگن خواهد بود: f = C C C Cl αe s F s ds F s ds ν i i برای g هم به همین صورت جواب مشابهی به دست میآید: g = D D D Dl αe s G s ds G s ds ν i i در نتیجه برای = جواب کامل معادله ) به دست میآید و تنشها به صورت زیر خواهند بود: Eα σ = C C C Fssds cosθ i Eα D D D G ssds siθ i Eα σθ = C 6 C C Fssds ) F cosθ i Eα D 6D D G s s ds ) G siθ i Eα σθ = C C C Fssds siθ i Eα D D D G ssds cosθ i σ در شعاع داخلی و خارجی مجهوالت =σ θ با اعمال شرایط مرزی 0= محاسبه میشود. 5-5 حل تحلیلی توزیع جابجایی روابط تنش-کرنش وکرنش- جابجایی را میتوان به صورت زیر نوشت: u θ مولفههای جابجایی در راستای شعاعی و محیطی u و به طوریکه هستند. با جاگذاری معادالت )8 و ) درون معادالت ) وسپس انتگرالگیری عبارت زیر حاصل میشود: ν u = cos θ C ν C ν Cl E να Fs s ds Fs ds ν ) a a ν si θ D ν D ν Dl E να Gss ds Gs ds U θ ν ) a a ν uθ = si θ C 5 ν C ν C l E να Fss ds Fsds ν a a ν cos θ D 5 ν D ν D l E να Gss ds Gsds U ν θ θ v a a d ε θ σ θ درون رابطه u θ و u و برای به دست آوردن توابع Uθ و V قرار داده شده و عبارت زیر حاصل میشود: V = H U θ = Lcos θ Msi θ νc θsi θ در واقع ثوابت H و L و M بیانکننده حرکات صلب انتقالی و چرخشی هستند. همچنین برای اینکه شرط تک مقداره بودن جابجایی برقرار باشد c باشد. باید 0= 6-6 اعتبارسنجی برای اعتبارسنجی حل تحلیلی در نرمافزار متلب کدنویسی شده و سپس نتایج آن با خروجی از نرمافزار انسیس مقایسه شده است. دادههای ورودی از لوله گیرنده کلکتور سهموی خطی نیروگاه خورشیدی انتخاب شده است. خواص فیزیکی این لوله گیرنده مطابق جدول) میباشد. توزیع شار حرارتی نامتقارن بیرون لوله مربوط به شهر شیراز به صورت شکل و مدل ریاضی آن به صورت رابطه زیر است: ) ) ) f θ = 5.si θ si θ در بررسی مدل هیچ گونه قید مکانیکی بر روی شعاع داخلی و خارجی در نظر گرفته نشده است. بررسی لوله در یک سیکل دوازده ساعته که از شش صبح تا شش بعد از ظهر طول میکشد انجام شده و فرکانس زمانی 0/0005= ad/s خواهد بود. شکل به مقایسه نتایج حل تحلیلی و روش المان محدود نرمافزار انسیس برای توزیع دما پرداخته است. این نتایج برای شعاع داخلی u ν ε = = ) ) E ν σ νσθ ν ατ uθ u ν εθ = = ν ) σθ νσ ν ) ατ θ E u uθ uθ ν εθ = = σθ θ E 56

5 60 تا 5 صفحه 96 سال شماره 9 دوره امیرکبیر مکانیک مهندسی نشریه ]6[ گیرنده لوله فیزیکی خواص : جدول Table. Mateial popeties of the absobe tube مقدار پارامتر ردیف /8 )cm داخلی شعاع /50 )cm خارجی شعاع 7 )W/K.m گرمایی رسانایی ضریب 50 )J/g.K ویژه گرمای ظرفیت 8000 )g/m چگالی Fig.. Compaiso of tempeatue chage distibutio, aalytical vesus FEM محدود المان روش و دما توزیع تحلیلی حل مقایسه : شکل آغاز از ساعت سه گذشت از پس یعنی صبح نه ساعت در و گیرنده لوله اختالف نتایج بین میشود مشاهده که همانطور است. آمده دست به فرایند نرمافزار توانایی عدم میتوان را اختالف این علت که دارد وجود اندکی برای تابع این مقدار مثال بطور یافت کلوین توابع دقیق محاسبه در متلب در تغییر صدم یک برای و be 0 /76)=-0/ شد. خواهد be 0 0 0/ =/77) آن مقدار در اینکه به توجه با باال رقمهای از یکی مقدار در تفاوت کوچکترین بزرگی خطاهای آمدن وجود به موجب میشوند ضرب یازده عدد از توانی رسم مختلف شعاعهای برای 0=θ زاویه در دما توزیع شکل در میشود. شعاع سمت به داخلی شعاع از میشود مشاهده که همانطور است. شده برای دما توزیع شکل در مییابد. افزایش خطی صورت به دما بیرونی دست به مختلف زمانهای حسب بر 80=θ زاویه در خارجی و داخلی شعاع برشی شعاعی تنشهای توزیع تحلیلی حل مقایسه به ادامه در است. آمده پرداخته 7 تا 5 شکلهای در ترتیب به انسیس نرمافزار خروجی با مماسی و دست به صبح ساعت 9 برای و /5= شعاع برای تنشها این میشود. و نیستند منطبق هم بر کامال نتایج میشود مشاهده که همانطور آمدهاند. توزیع مشابه میتوان اختالف این آمدن وجود به علل از دارد. وجود اختالفاتی کرد. اشاره کلوین توابع دقیق محاسبه در متلب نرمافزار توانایی عدم دما از تنشها محاسبه برای موجود سریهای اینکه به توجه با همچنین عدد تا شوند جمع هم با جمله بینهایت باید یعنی هستند بینهایت تا صفر محاسبه عدم از ناشی خطا مقداری همیشه کنند محاسبه را تنشها دقیق جمع هم با که جمالتی تعداد همان دیگر طرف از دارد. وجود جمالت تعدادی با میدهد. افزایش را خطاها مجموع که دارند خطا مقداری خود گردیدهاند محاسبه در متلب نرمافزار توانایی عدم بر همچنان خطا عوامل همه به توجه میشود. تاکید عمده خطای عنوان به کلوین بدرفتار توابع دقیق مقایسه به ترتیب به میشود مشاهده 9 و 8 شکلهای در که همانطور نرمافزار خروجی با مماسی جابجایی و شعاعی جابجایی توزیع تحلیلی حل نتایج در آمده وجود به اندک اختالف علل از است. شده پرداخته انسیس جابجایی محاسبه برای اینکه به توجه با که کرد اشاره موضوع این به میتوان غیرقابل خطا وجود میباشند خطا دارای تنشها و میشود استفاده تنشها از میباشد. اجتناب Fig.. Tempeatue distibutio i diffeet adii at a costat agle 9 )GPa االستیسیته مدول 5-/6e K/) گرمایی انبساط ضریب 0/ پواسون ضریب Fig.. Heat flux distibutio o the oute suface of the pipe لوله بیرونی سطح روی حرارتی شار توزیع : شکل ثابت زاویه یک در مختلف های شعاع در دما توزیع : شکل 57

6 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 9 شماره سال 96 صفحه 5 تا 60 Fig. 7. Compaiso of hoop stess distibutio, aalytical vesus FEM Fig.. Tempeatue distibutio i ie ad oute adius at diffeet times شکل : توزیع دما در شعاع داخلی و خارجی بر حسب زمانهای مختلف شکل 7: مقایسه حل تحلیلی توزیع تنش مماسی و روش المان محدود Fig. 8. Compaiso of adial displacemet distibutio, aalytical vesus FEM شکل 8: مقایسه حل تحلیلی توزیع جابجایی شعاعی و روش المان محدود Fig. 5. Compaiso of adial stess distibutio, aalytical vesus FEM شکل 5: مقایسه حل تحلیلی توزیع تنش شعاعی و روش المان محدود Fig. 9. Compaiso of Tagetial displacemet distibutio, aalytical vesus FEM شکل 9: مقایسه حل تحلیلی توزیع جابجایی مماسی و روش المان محدود Fig. 6. Compaiso of Shea stess distibutio, aalytical vesus FEM شکل 6: مقایسه حل تحلیلی توزیع تنش برشی و روش المان محدود 58

7 نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر دوره 9 شماره سال 96 صفحه 5 تا 60 Themal Stesses, 5-) 98) 99-. [] T. Goshima, K. Miyao, Tasiet themal stesses i a hollo cylide subjected to γ-ay heatig ad covective heat losses, Nuclea Egieeig ad Desig, 5) 99) [] K.-S. Kim, N. Noda, Gee's fuctio appoach to usteady themal stesses i a ifiite hollo cylide of fuctioally gaded mateial, Acta Mechaica, 56- ) 00) 5-6. [] K.-C. Yee, T. Moo, Plae themal stess aalysis of a othotopic cylide subjected to a abitay, tasiet, asymmetic tempeatue distibutio, Joual of applied mechaics, 695) 00) [5] A. Shahai, S. Nabavi, Aalytical solutio of the quasistatic themoelasticity poblem i a pessuized thicalled cylide subjected to tasiet themal loadig, Applied mathematical modellig, 9) 007) [6] S. Abaimoosavi, M. Yaghoubi, D Themal-stuctual aalysis of a absobe tube of a paabolic tough collecto ad the effect of tube deflectio o optical efficiecy, Eegy Pocedia, 9 0) نتیجهگیری در این مقاله به کمک حل تحلیلی به روش جداسازی متغیرها توزیع دما برای یک استوانه توخالی به دست آمد. سپس به کمک روش تابع حرارتی توزیع تنشها محاسبه گردید. در انتها به کمک روابط تنش- کرنش و کرنش جابجایی مولفههای جابجایی به دست آمدند. شرایط مرزی مسئله به این صورت میباشد که روی سطح بیرونی این استوانه شار حرارتی نامتقارن اعمال میگردد. همچنین درون این استوانه سیالی با ضریب جابجایی مشخص وجود دارد. سپس جواب به دست آمده به کمک حل تحلیلی درون نرمافزار متلب کد نویسی شده است. برای اعتبار سنجی نتایج حل تحلیلی با روش المان محدود نرمافزار انسیس مقایسه شد. دادههای ورودی از لوله گیرنده کلکتور سهموی خطی نیروگاه خورشیدی شیراز انتخاب شده است. خطای موجود بین حل تحلیلی و روش المان محدود به دلیل عدم توانایی نرمافزار متلب در محاسبه دقیق توابع کلوین بیان شد. همچنین مشاهده شد که توزیع دما از شعاع داخلی به سمت شعاع خارجی به صورت خطی افزایش مییابد. منابع [] A. Ghos, M. Sabbaghia, Quasi-static coupled poblems of themoelasticity fo cylidical egios, Joual of Please cite this aticle usig: براى ارجاع به این مقاله از عبارت زیر استفاده کنید: A. Bidzad, M. Mahzoo, M. Yaghoubi, Aalytical Solutio fo Tempeatue, Stess ad Displacemet Fields fo a Hollo Cylide Subjected to Asymmetic ad Time Depedet Heat Flux Amiabi J. Mech. Eg., 9) 07) DOI: 0.060/mej

8